​椭圆面积公式推导过程（用初等方法推导椭圆面积公式）

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椭圆面积公式推导过程（用初等方法推导椭圆面积公式）

这种方法也许不是非常严谨，但却较为直观和形象。

考虑一根圆柱形的水管，它的半径(内径)为a,若垂直圆柱的轴线，切下这根圆柱，则这根水管的截面是一个圆形。且截面的面积为πa²

一根圆柱形水管，它的半径(内径)为a

圆柱形的截面除了是圆形还有很多可能，比如椭圆形。

半径相同的圆柱，它的圆形截面和椭圆形截面

下图为在一个圆柱体水管的一部门，中间部位画出了假想的圆形截面，和假想的椭圆形截面，圆形截面和圆柱体上下底面全等且平行，椭圆截面是倾斜一定角度截出来的，倾斜角为θ，从图中可以看出，这个椭圆截面半短轴为a,半长轴为a/cosθ。设想某时间段水管里充满了水，并流过，那流过水管的水流量和你的假想截面无关，水流量不会因为你画不同的假想截面而改变，否则大家都是神笔马良了。

一段水管两个假想截面，一个截面是和上下底相同的圆形，另一个是半长轴为a/cosθ,半短轴为a的椭圆

通过圆形截面和通过椭圆形截面的水流量相等，那我们应该再思考下通过各种不同面的流量的表达式。考虑极限情形，如果水流，流动的方向和一平面平行，那流过这个平面的的流量应为零。下图是水流方向和平面垂直、平行、呈60°角时的流量情形。可从直观上理解，和平面垂直时流量是最大的，和平面平行时流量最小。如果平面面积为s,夹角为θ，水的流速为v，则流过这个面的流量即水的体积就为s× v×cosθ

之前说过流过圆形和椭圆形的流量相等，但圆形平面和流动方向垂直，相当于夹角为0,cos0=1;而椭圆平面和流动方向呈θ°的夹角。我们可以列出方程

s(圆形)×v=s(椭圆)×v×cosθ

则椭圆面积:

s(椭圆)=s(圆形)÷cosθ=π×a/ cosθ×a

我们之前知道a是椭圆的半短轴，而a/cosθ是半长轴。所以椭圆面积公式为:

πab(π乘以半长轴再乘以半短轴)。

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